1. 导言

代数几何是研究代数簇的学科。简单地说，代数簇是多变量多项式的公共零点的集合。例如，如果我们将R定义为所有实数的集合，那么在平面上，方程y-x^2=0

给出的集合是实数上的代数簇的一个例子。这无非是一条抛物线。由于代数几何是基础学科，它与数学的各个领域都有联系，并且已经从各个角度进行了研究。因此，代数几何已经成为一门庞大的学科。要研究的东西太多了，如果我忘记代数几何并从头开始研究它，那将是一项艰巨的任务，而且我认为在我的这个年纪我做不到。为了认真研究代数几何，你需要年轻人的鲁莽和专注（这对于其他数学领域也是如此）。然而，它的多样性也确实使它变得有趣，并吸引了一些年轻人。如今，与我年轻的时候（即 1970 年左右）不同，关于它的教科书和评论很多，代数几何也变得更加熟悉。然而，对于那些刚开始学习代数几何的人来说，它仍然是一门模糊而迷茫的学科。因为这篇文章很可能会引起很多人的兴趣，所以我想为学习代数几何提供一些指导。但是，做研究需要走出自己的路，所以请记住，我这里所说的只是我个人对代数几何的偏见，其中一半只是对我走过的路的回顾和反思。

2. 历史回顾

关于代数几何的起源，我们在此不作讨论。有人说希腊的圆锥曲线理论是代数几何，也有人说17世纪笛卡尔的解析几何也是代数几何的一部分。还有，19世纪上半叶黎曼的黎曼曲面理论，可能完全属于代数几何的世界。从19世纪下半叶开始，法国的皮卡德、莱夫谢茨等学者，德国的诺特、克莱因、范德瓦尔登等学者，以及意大利的恩里克、卡斯特尔诺沃、塞韦里、法诺等著名学者，进行了成为现代代数几何基础的研究。

1946 年，建立抽象域上的代数几何基础的需要促成了一本划时代的书的诞生。

A. Weil：《代数几何基础》，AMS，1946 年

对我来说，它已经感觉像是一本历史书了，但它是一本系统化代数几何的重要书籍，我认为这本书对我上一代的代数几何和数论研究人员产生了很大的影响。在这本书中，基于场论严格构建了代数几何的一般理论。特别是，交集理论（两个子代数簇的理论）发展了两类对象相交的理论（对象相交理论）。该理论中使用的生成点和特殊化思想至今仍被广泛使用（这些概念由 BL van der Waerden 首次提出）。此外，韦伊于1949年对有限域上射影代数簇的有理点数（不定方程的解的数量）提出了一个著名猜想，被称为韦伊猜想，解决它的努力成为了代数几何发展的驱动力之一。从此刻起，我感觉自己好像进入了从历史面纱中走出来的真正的数学研究，因此基于上述假设，我想谈谈如何进入代数几何。

3.代数几何简介

学习现代代数几何有两种方式。顾名思义，你可以从代数的角度或几何的角度来学习它。从代数的角度来学习意味着学习基于交换代数的代数几何。从几何的角度来学习意味着从复流形开始。由于代数几何的对象代数流形是一种多域域，而流形是几何的对象，因此在复数域中，有一种立场是将没有奇点的代数簇视为复流形并对其进行研究。换句话说，这种立场是通过将开集与全纯函数粘合来创建和研究流形。如果你从这个立场来学习，你将首先学习基于多元解析函数理论而不是交换环理论的代数几何。在这个领域，有相当于数学界诺贝尔奖的菲尔兹奖获得者小平邦彦博士。在他的影响下，在1960年代末到1970年代末涌现出许多优秀的代数几何研究者。

从代数的角度去研究代数，就是上面提到的韦伊基于域论的代数几何的流派。

为了进一步发展算术理论，有必要创建一个基于交换代数理论的理论。这是由 A. Grothendieck 完成的。在 J. Dieudonné 的合作下，他从 1950 年代末开始研究它。

A.格罗滕迪克：他写了《几何原本》（AI. gébrique，Publ. de l'Inst. des Hautes Etudes Scientifiques，简称EGA），在书中他彻底重构了代数几何。根据序言，全书共13章，完成后，被认为是一部近1万页的巨作。实际上，到第四章为止只写了1800页左右，但足以让我们一窥代数簇推广方案的宏伟理论。该著作的续篇发表在Springer-Verlag出版社的《代数地理学研讨会文集》（简称SGA，全13卷，约6500页）上，其中报道了包括格罗滕迪克在内的许多研究者的研究成果。

这些代数几何的一般理论是在 20 世纪 60 年代发展起来的，当时数学家团体布尔巴基在结构主义的旗帜下积极致力于重建数学，出版了《数学原理》系列丛书。可以说，作为布尔巴基的产物，代数几何取得了巨大的进步。布尔巴基自 1983 年以来一直保持沉默，但布尔巴基的核心人物卡蒂埃在最近的一次采访中对布尔巴基进行了有趣的回忆。在采访中，他对布尔巴基的《数学原理》进行了如下陈述：

问：布尔巴基的人是否意识到这不是一本教科书？卡蒂埃：或多或少，但没有现在这么清楚。对此有一些误解，我想是因为我们没有教科书。对我这一代的人来说，这是一本教科书。但一个错误的观点是它应该是每个人的教科书。这是一个大错误。EGA与布尔巴基的《数学要素》地位相似，但许多从代数角度编写的代数几何教科书的核心都是 EGA 的思想。

4. 代数几何的教养

在这一部分，我将介绍几本通俗易懂的代数几何入门书籍。

(1) Shigeru Iitaka, Kenji Ueno, and Yukihiko Namikawa: The Spirit of Descartes and Algebraic Geometry (Expanded Edition), Nippon Hyoronsha, 1993

本书初版出版于1980年，以非常通俗易懂的方式讲解了代数曲线、代数曲面，甚至模空间及其紧化等高级概念。虽然是通俗易懂的讲解，但并非只是读物，讲解直击要害，所以对于刚接触代数几何却不能很好理解的初学者，以及需要使用代数几何的自然科学家来说，都是一本理想的书。即使学过代数几何基础的人，看了也会受益匪浅。奇怪的是，在本书出版之前，几乎没有这种类型的代数几何评注。最后一章解释了上述有限域上射影代数簇的韦伊猜想。

(2)上野健二：《代数几何导论》，岩波书店，1995

这本书也通俗易懂。内容涵盖从代数几何基础到代数曲线，并且有很多本书用例子，在约300页的篇幅中，透彻彻底底讲解了基础知识。本书适合初次接触代数几何的人，比如不满足于入学考试数学成绩的高中生，或者想看看高等数学的大学一二年级学生。其中还收录了代数曲线的黎曼-罗赫定理和赫尔维茨公式，对以后的学习会有帮助。（1）和（2）都是从代数和几何的角度讲解的。

（3）迈尔斯·里德（M.Reid）,初等代数几何讲义,1991年

这是一本从代数角度讲解代数几何的入门书。第1章用平面代数曲线解释了什么是代数几何。第1章的标题“玩转平面曲线”让人大概了解内容。第 2 章包含仿射代数簇的标准解释。在此基础上，第 3 章开发了诸如非奇异三次射影曲面上 27 条线的几何等应用。本书旨在让代数几何变得有趣，而无需太多知识。但是，要阅读这本书，您至少应该了解环和理想。英文版于 1988 年出版。

5. 代数几何的三本教科书

从这一节开始，我们开始讲如何认真学习代数几何。首先，如果要为从代数角度学习代数几何的人推荐三本代数几何教科书，我推荐以下这些：

(1) D. Mumford: The Red Book of Varieties and Schemes (Introduction to Algebraic Geometry), Lecture Notes in Math. 1358, Springer-Verlag, 1988

(2) R. Hartshorne: Algebraic Geometry, Grad- uate Text in Math. 52, Springer-Verlag, 1977

(3) I. R. Shafarevich: Basic Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1977.

（1）最初由 Mumford 于 1960 年代出版。这是在芒福德大学讲课的笔记，最初因为封面是红色的所以叫红书，最近作为 Springer 的 Lecture Notes 系列出版了，封面已经变黄了，但是书名还是红书。我觉得这是一本非常好的书，例子也很多。全书分为三章，第一章讲代数簇的一般理论，先讲交换代数，这是代数几何的基础，很有帮助。第二章讲图式的一般理论，第三章讲凝聚层、微分形式和各种全纯映射的一般理论。唯一的缺点是完全没有讲到上同调理论。这本书应该有续集，但是芒福德已经离开代数几何，研究人工智能问题了，所以不可能有续集了，很遗憾。

(2)是目前代数几何最有代表性的教材，对上同调论也讲得透彻简洁。不过要读完这本书，需要对交换环有一定的了解。特别是第1章的导论部分讲解了代数簇，但对交换环理论的必要部分只是引用，对于刚学完普通大学三年级代数课程的人来说，可能读起来比较吃力。内容方面，第1至3章讲代数几何的一般理论，包括方案理论，第4章讲代数曲线理论，第5章讲代数曲面理论。我喜欢这本书，因为它理论很深奥，读起来有点枯燥。

三本书中，(3)的几何色彩最浓，第1部分讲射影代数簇，第2部分讲代数簇和方案。第 3 部分解释了处理复数域上代数簇的超越（非代数）方法。它涵盖了代数曲线的三角剖分和通用覆盖空间等主题，还解释了代数簇的拓扑结构，因此可能很容易了解它是什么样的。由于每个人对数学的偏好不同，我建议你阅读这三本书。

很难说哪本书最好。而且有些人可能觉得其他书更好，但如果你能获得与这些书中任何一本书的内容相对应的知识，你可以说你已经克服了学习代数几何的第一个障碍。

6. 从复流形入手

从几何学的角度来说，我还是会列出前三名的三本书。但是，教科书种类繁多，我个人的偏好更强，所以将这三本书称为前三名有些牵强。

（1）J. Morrow and K. Kodaira: Complex Manifolds, Holt, Rinehart and Winston, Inc., 1971

（2）P. Griffiths and J. Harris: Principles of Algebraic Geometry, Wiley and Sons, 1978

（3）Friedrich Hirzebruch：Topological Methods in Algebraic Geometry,Springer, 1970

（1）这本书从层的解释开始，简洁地总结了经典的霍奇理论和变形理论。第 1 章需要读者具备拓扑等高级知识，因此如果是初次学习这门课程，可以先随便读一下这部分，然后从第 2 章开始逐层认真阅读。调和分析也总结得简明扼要，易于阅读，但奇怪的是，它没有被引用为参考文献。

复流形与复结构的变形，由 K. Kodaira 和 K. Akao 翻译，Springer-Verlag，1986 年这是“复流形理论”的英文翻译。这本书被列为日文教科书部分的参考书。

（2）是一本厚书，讲解了大量信息，从复流形的一般理论到黎曼曲面和复曲面的理论。它甚至包括了拓扑学的基础庞加莱对偶定理的证明。书中还详细介绍了谐波分析。但是，它不适合在讨论班上使用。我认为这本书不适合学生，除非那些能力很强的人。我也曾将这本书分配给学生用于研讨会，但我记得他们陷入了算子的详细计算中，很难回到正轨。书中还简明扼要地解释了 Grassmann 簇的 Schubert 分析，我发现这很有用。

(3) 是一本旨在解释高维代数簇的 Riemann-Roch 定理证明的书。从这个意义上说，它处于一个有点特殊的位置，但它也对向量束、陈类和包括 Todd 属在内的属进行了彻底的解释，使其成为研究代数簇拓扑几何的必备书籍。它的写作风格简单，从基础开始，即使是初学者也应该能够阅读它，但它可能不是学习代数几何时要阅读的第一本书。

我还想推荐另外一本书： K. Ueno: Classification Theory of Algebraic Varieties and Compact Complex Spaces, Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 1975.

这本书作为一本以高维代数簇分类理论为重点的书，起到了先驱作用，似乎在世界各地都有广泛阅读。基于小平维度创建饭高纤维空间并实现双有理分类理论的想法现在已经是众所周知的，但我认为这本书为这个想法在世界各地的传播做出了贡献，为它现在的流行奠定了基础。我认为这是一本在你有一定代数几何知识后可以阅读的书，但如果你有相当的代数几何知识，这本书的写作非常简单易读。视角非常接近代数。

7.代数几何的发展

我将简要介绍下一本书，那些通过第一关的人应该学习这本书。首先，作为一本关于阿贝尔簇的教科书，我推荐

D. Mumford: Abelian Varieties, Oxford University Press, 1970. This book

这本书没有提到雅可比簇或阿尔巴尼斯簇，但你可以在

S. Lang：Abelian Varieties，Springer-Verlag，1983 年（第一版由 Interscience Publishers 于 1959 年出版）

是本书的一个很好的补充。然而，Lang 的书是用 Weil 风格的代数几何写成的。有关代数曲面的一般理论和 Picard 簇的构造，请参阅

D. Mumford：《Lectures on Curves on Algebraic Surfaces》（普林斯顿大学出版社，1966 年）是一本不错的教科书。这本书没有涉及代数曲面的分类理论，但有一篇论文涉及这个主题。

K. Kodaira: On compact complex analyticsurfaces, I, II, III, Ann. of Math. 71 (1960), 111-152; ibid. 77 (1963), 563-626; ibid. 78 (1963), , K. Kodaira: On thestructures of compact complex analyticsurfaces I, II, III, IV, Amer. J. Math. ; ibid. , 682-721; ibid. 90 (1968), 55-83; ibid. 90 (1968), 1048-1066都值得一读。

关于模空间，参见 D. Mumford, J. Fogarty and F Kirwan: Geometric Invariant Theory (Third Enlarged Edition), Springer-Verlag 1994 (1965 年出版的第一版)，这可能是最成熟的标准教科书。这本书绝对值得一读，但读起来并不容易。这本书原本是芒福德在哈佛大学的博士论文。

近年来，环面流形经常被用作射影空间的推广。这种流形很有用，因为它可以与凸体相关联。

T. Oda:凸体和代数几何，Springer-Verlag，1988. 是一本好书。

Toric Varieties, Princeton Univ. Press, 1993. W. Fulton: Intersection Theory, Springer-Verlag, 1984

是一本以代数循环为重点的代数几何教科书。

Y. Kollăr and S. Mori：代数簇的双有理几何，即将出版。这本书对于了解高维代数几何的现状和研究方法很有用。

8. 其他教材

我想介绍四本我认为从代数角度来看具有很强个性的教科书。 （1）S. Iitaka：《代数几何（代数簇双有理几何导论）》，Springer-Verlag，数学研究生教材，76，1977

本书原本是岩波基础数学讲座系列的独立卷。这是一本雄心勃勃的书，巧妙地融入了普通入门教科书中没有的有趣主题，例如代数曲线的 Weierstrass 点、自同构和开放代数曲面。 （2）J. Harris：《代数几何》，数学研究生教材。133，Springer-Verlag，1992 年。它旨在让读者通过研究代数簇的结构来学习代数几何，重点关注代数簇的例子。 （3）D. Mumford：《代数几何 I（复射影簇）》，Springer-Verlag，1976 年

主题仅限于复数域上的代数簇，并解释了一般理论。完全没有提到方案。这是一本具有古典感的书。 （4）S. Lang：《代数几何导论》 ，Interscience Publishers，1958 这是一本关于 Weil 式代数几何的教科书。它对于了解 Weil 式代数几何的术语和方法很有用。

10. 我最喜欢的道路

如果我要重新振作起来，重新学习代数几何，我会想学什么，按照什么顺序学？首先，不用说，我会掌握大学三年级之前的所有数学科目。大多数数学都是必修的。在学习代数几何时，我读了R. Hartshorne 的《代数几何》 ，在读这本书之前，我巩固了对交换环和同调代数的知识。读完 Hartshorne 的书后，我读了 D. Mumford 的《阿贝尔簇》，《代数曲面曲线讲座》，以及 《几何不变理论》，在阅读过程中的某个时候，我读了J. Morrow和K. Kodaira的《复流形和簇和紧复空间的分类理论》，以及 K. Kodaira：关于紧复解析曲面I、II、III和紧复解析曲面的结构I、II、III和IV ，也巩固了我对复流形和微分几何的认识。

在此基础上，我们将学习霍奇理论、环面簇、代数群、李群、李代数、自守函数论、代数数论、算术代数几何、阿蒂亚-辛格指标定理理论。

目前的理论和模块，这些也用于代数几何。最近在代数几何的周围也出现了类似于粒子物理的数学物理，所以我也想学习这些。我想做的事情有很多。

当然，事情不会这么简单。如果你有能力把这些事情一件一件地做完，我想无论你按照什么顺序做，不管你怎么做，你都一定会成功。归根结底，除了开辟一条适合自己的道路，没有捷径可走。